Zadania z matematyki

Nierówności wielomianowe

Uczniowie szkół średnich często mają problemy z nierównościami algebraicznymi. Tak na prawdę ich opanowanie jest jest trudne, lecz przy ich rozwiązywaniu należy pamiętać o kilku zasadach.

Nierównością algebraiczną (wielomianową) stopnia $n$ jednej zmiennej $x$ nazywamy nierówności postaci $W(x)\ge 0$ lub $W(x) \le 0$ lub $W(x)>0$ lub $W(x)<0,$ gdzie

$W(x) = a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0},$ gdzie $a_n\ne 0.$

Zadanie

$(x+3)\cdot (x+1)\cdot (x-2)<0$

Jakie są poszczególne kroki w rozwiązywaniu nierówności?

Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika, zwracając uwagę na tzw. „krotność” miejsc zerowych. Co to oznacza?
Jeśli np. krótyś z czynników (całe wyrażenie w nawiasie) jest podniesione do potęgi, to wykładnik tej potęgi jest krotnością np. gdyby w powyższej nierówności było np.

$(x+3)^{2}\cdot(x+1)^{3}\cdot (x-2) ,$ to wtedy

$x= -3$ (miejsce zerowe pierwszego czynnika) jest pierwiastkiem dwukrotnym oznaczamy $x = -3^{(2)},$

$x=-1^{3}$ jest pierwiastkiem trzykrotnym,

$x = 2$ jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Krotność ma znaczenie przy rysowaniu wykresu wielomianiu, który trzeba narysowac w drugim kroku
Rysujemy wykres wielomianu, tzn rysujemy os liczbową, na niej zaznaczamy miejsca zerowe wszystkich czynników.
Wykres ten zaczynamy rysować z prawej strony od dołu lub od góry.
Prawa strona:

– dół – współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest ujemny $a_n < 0$ )
– góra – współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni $a_n > 0$ )

Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny ( $2,4,6, etc.$ ) to wykres nie przecina osi, tylko się od niej w danym punckie odbija.

Jeśli pierwiastek jest nieparzystokrotny ( $1,3,5,7,9, etc.$ ) to wykres przecina oś

Rozwiązując nierówność algebraiczną, postępujemy bardzo podobnie jak w przypadku rozwiązywania równań wielomianowych. Najpierw musimy obliczyć pierwiastki tego wielomianiu, a następnie rozwiązanie odczytujemy z wykresu wielomianiu. Pamiętajmy, że warto, jeżeli się da rozłożyć wielomian na czynniki, korzystając z jednej z metod.

Indukcja matematyczna

Studenci uczelni wyższych, szczególnie na kierunkach ścisłych w ramach zajęć z matematyki spotkają się z pojęciem indukcji matematycznej. Jest to szczególnie użyteczne przy różnego rodzaju dowodach.

Indukcja matematyczna jest to sposób dowodzenia twierdzeń, w których mowa o liczbach naturalnych.

Dowód metodą indukcji matematycznej powinien przebiegać według ustalonego schematu, który wyznacza sformułowanie zasady indukcji matematycznej.

dany ciąg twierdzeń:

$T_1,\ T_2,\ T3, \dots,\ T_n,$

Sprawdzamy prawidłowość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej (pierwszy krok indukcyjny).

Następnie dowodzimy (dla każdej liczby naturalnej $n$ ) prawdziwości implikacji (wynikania) $T(n)\Rightarrow\ T(n+1)$ lub inaczej $T_n\Rightarrow T_{n+1}$ (drugi krok indukcyjny)

Twierdzimy, że dla dowolnego $n\in N$ twierdzenie $T_n$ jest prawdziwe.

Sformułowania które, będą się w zadaniach tego typu powtarzać takie jak: „dla dowolnego”, „dla każdego”, zastąpimy tzw. kwantyfikatorem ogólnym $\forall .$

Przejdźmy, zatem do pierwszego zadania związanego z indukcją matematyczną.

Udowodnij, że $\forall_{n\in N} 1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).

Oznaczamy lewą stronę równania przez $L,$ a prawą stronę przez $P.$

Niech $n=1,$ wtedy

$L-1$

$P=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2},$ czyli $L=P$

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest też prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli $n+1$ ).