Nierówności wielomianowe

Uczniowie szkół średnich często mają problemy z nierównościami algebraicznymi. Tak na prawdę ich opanowanie jest jest trudne, lecz przy ich rozwiązywaniu należy pamiętać o kilku zasadach.

Nierównością algebraiczną (wielomianową) stopnia n jednej zmiennej x nazywamy nierówności postaci W(x)\ge 0 lub W(x) \le 0 lub W(x)>0 lub W(x)<0, gdzie

W(x) = a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}, gdzie a_n\ne 0.

Zadanie

(x+3)\cdot (x+1)\cdot (x-2)<0

Jakie są poszczególne kroki w rozwiązywaniu nierówności?

  1. Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika, zwracając uwagę na tzw. „krotność” miejsc zerowych. Co to oznacza?
    Jeśli np. krótyś z czynników (całe wyrażenie w nawiasie) jest podniesione do potęgi, to wykładnik tej potęgi jest krotnością np. gdyby w powyższej nierówności było np.

    (x+3)^{2}\cdot(x+1)^{3}\cdot (x-2) , to wtedy

    x= -3 (miejsce zerowe pierwszego czynnika) jest pierwiastkiem dwukrotnym oznaczamy x = -3^{(2)},

    x=-1^{3} jest pierwiastkiem trzykrotnym,

    x = 2 jest pierwiastkiem jednokrotnym.

    Krotność ma znaczenie przy rysowaniu wykresu wielomianiu, który trzeba narysowac w drugim kroku

  2. Rysujemy wykres wielomianu, tzn rysujemy os liczbową, na niej zaznaczamy miejsca zerowe wszystkich czynników.
    Wykres ten zaczynamy rysować z prawej strony od dołu lub od góry.
    Prawa strona:

    – dół – współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest ujemny   a_n < 0 )
    – góra – współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni   a_n > 0 )

    Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny (2,4,6, etc. ) to wykres nie przecina osi, tylko się od niej w danym punckie odbija.

    Jeśli pierwiastek jest nieparzystokrotny (1,3,5,7,9, etc. ) to wykres przecina oś

Rozwiązując nierówność algebraiczną, postępujemy bardzo podobnie jak w przypadku rozwiązywania równań wielomianowych. Najpierw musimy obliczyć pierwiastki tego wielomianiu, a następnie rozwiązanie odczytujemy z wykresu wielomianiu. Pamiętajmy, że warto, jeżeli się da rozłożyć wielomian na czynniki, korzystając z jednej z metod.

Reklamy
Opublikowano Uncategorized | Dodaj komentarz

Indukcja matematyczna

Studenci uczelni wyższych, szczególnie na kierunkach ścisłych w ramach zajęć z matematyki spotkają się z pojęciem indukcji matematycznej. Jest to szczególnie użyteczne przy różnego rodzaju dowodach.

Indukcja matematyczna jest to sposób dowodzenia twierdzeń, w których mowa o liczbach naturalnych.

Dowód metodą indukcji matematycznej powinien przebiegać według ustalonego schematu, który wyznacza sformułowanie zasady indukcji matematycznej.

dany ciąg twierdzeń:

T_1,\ T_2,\ T3, \dots,\ T_n,

Sprawdzamy prawidłowość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej (pierwszy krok indukcyjny).

Następnie dowodzimy (dla każdej liczby naturalnej n ) prawdziwości implikacji (wynikania) T(n)\Rightarrow\ T(n+1) lub inaczej T_n\Rightarrow T_{n+1} (drugi krok indukcyjny)

Twierdzimy, że dla dowolnego n\in N twierdzenie T_n jest prawdziwe.

Sformułowania które, będą się w zadaniach tego typu powtarzać takie jak: „dla dowolnego”, „dla każdego”, zastąpimy tzw. kwantyfikatorem ogólnym \forall .

Przejdźmy, zatem do pierwszego zadania związanego z indukcją matematyczną.

Udowodnij, że \forall_{n\in N} 1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).

Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą stronę przez P.

Niech n=1, wtedy

L-1

P=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}, czyli L=P

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest też prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n+1 ).

L=1+2+3+\dots + n +(n+1)=

=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=

=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+2)}{2}

=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}

Teraz zobaczymy jak wygląda prawa strona równości. Trzeba w miejsce n do wzoru danego w zadaniu wstawić (n+1).

P=\frac{(n+1)(n+1+1)}{2}=

=\frac{(n+1)(n+2)}{2}

Zatem

L=P

Pierwszy i drugi krok indukcyjny zachodzi, zatem twierdzenie zostało udowodnione.

Opublikowano Indukcja | Otagowano , , , , | Dodaj komentarz