Uczniowie szkół średnich często mają problemy z nierównościami algebraicznymi. Tak na prawdę ich opanowanie jest jest trudne, lecz przy ich rozwiązywaniu należy pamiętać o kilku zasadach.
Nierównością algebraiczną (wielomianową) stopnia jednej zmiennej nazywamy nierówności postaci lub lub lub gdzie
gdzie
Zadanie
Jakie są poszczególne kroki w rozwiązywaniu nierówności?
- Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika, zwracając uwagę na tzw. „krotność” miejsc zerowych. Co to oznacza?
Jeśli np. krótyś z czynników (całe wyrażenie w nawiasie) jest podniesione do potęgi, to wykładnik tej potęgi jest krotnością np. gdyby w powyższej nierówności było np.to wtedy
(miejsce zerowe pierwszego czynnika) jest pierwiastkiem dwukrotnym oznaczamy
jest pierwiastkiem trzykrotnym,
jest pierwiastkiem jednokrotnym.
Krotność ma znaczenie przy rysowaniu wykresu wielomianiu, który trzeba narysowac w drugim kroku
- Rysujemy wykres wielomianu, tzn rysujemy os liczbową, na niej zaznaczamy miejsca zerowe wszystkich czynników.
Wykres ten zaczynamy rysować z prawej strony od dołu lub od góry.
Prawa strona:– dół – współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest ujemny )
– góra – współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni )Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny () to wykres nie przecina osi, tylko się od niej w danym punckie odbija.
Jeśli pierwiastek jest nieparzystokrotny () to wykres przecina oś
Rozwiązując nierówność algebraiczną, postępujemy bardzo podobnie jak w przypadku rozwiązywania równań wielomianowych. Najpierw musimy obliczyć pierwiastki tego wielomianiu, a następnie rozwiązanie odczytujemy z wykresu wielomianiu. Pamiętajmy, że warto, jeżeli się da rozłożyć wielomian na czynniki, korzystając z jednej z metod.